Espace euclidien :
La géométrie euclidienne repose sur le postulat des parallèles d'Euclide.
Un des postulats d'Euclide (le Ve) en géométrie plane affirme qu'on ne peut tracer qu'une seule parallèle à une droite donnée et passant par un point extérieur à la droite. Durant de nombreux siècles, les mathématiciens ont cru que ce postulat pouvait être démontré à partir des autres, mais tous les efforts dans ce sens ont été vains. Puis, dans la première partie du XIXe siècle, le mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss, le mathématicien russe Nikolaï Ivanovitch Lobatchevski et le mathématicien hongrois János Bolyai montrent séparément qu'il est possible de construire un système de géométrie cohérent, dans lequel le Ve postulat euclidien est remplacé par un autre, selon lequel, par tout point n'appartenant pas à une droite donnée, on peut tracer un nombre infini de parallèles à la droite. Plus tard, vers 1860, le mathématicien allemand Georg Friedrich Bernhard Riemann montre qu'on peut construire une autre géométrie, dans laquelle il n'existe aucune parallèle à toute droite donnée. Les détails techniques de ces deux types de géométries non-euclidiennes sont complexes. Cependant, on peut donner une idée de tels systèmes à l'aide de modèles simples. La géométrie de Bolyai-Lobatchevski, souvent appelée géométrie hyperbolique peut être décrite par la géométrie d'un espace plan constitué uniquement des points intérieurs à un cercle, et dans laquelle les seules droites possibles sont les cordes du cercle. De la même façon, la géométrie riemannienne ou géométrie elliptique a pour modèle la géométrie de la surface d'une sphère dans laquelle les droites sont des grands cercles. Pour une zone de petites dimensions, la géométrie euclidienne et les géométries non-euclidiennes sont fondamentalement équivalentes. Cependant, pour l'espace astronomique et dans certaines questions de physique moderne telles que la relativité ou la théorie de propagation des ondes, les géométries non-euclidiennes permettent une présentation plus intuitive et exacte des phénomènes observés. Par exemple, la théorie de la relativité développée à l'origine par Albert Einstein est fondée sur la géométrie riemannienne de l'espace courbé.